[기고] 완벽하게 안정적인 스위치 모드 전원장치가 음성 저항 때문에 발진을 일으키는 이유

2023-11-07

토마스 지넬(Thomas Ginell) 스태프 FAE, 아나로그디바이스(Analog Devices, Inc.)

완벽하게 안정적인 스위치 모드 전원공급장치(switch-mode power supply, SMPS)라도 입력에서의 음성 저항(negative resistance) 때문에 발진을 일으킬 수 있다. SMPS는 입력에서 소신호 음성 저항처럼 보인다.

이는 입력 인덕턴스 및 커패시턴스와 결합하여 댐핑되지 않은 발진 회로를 형성할 수 있다. 이 글에서는 이 문제에 대한 분석과 해결 방법에 대해 설명한다. 시뮬레이션을 위한 도구로는 LTspice®를 사용했다.

머리말

스위치 모드 레귤레이터의 기능은 입력 전압을 가능한 효율적으로 일정한 출력 전압으로 변환하는 것이다. 이 과정에서 약간의 손실이 일어나며, 효율은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

레귤레이터가 V_OUT을 일정하게 유지하고 부하 전류 I_OUT이 V_IN에 따라서 변동적이지 않고 일정하다고 가정해보자. 그랬을 때, 그림 1은 V_IN에 따른 I_IN을 보여준다.

그림 2에서는 12V 동작점에서 탄젠트를 그리고 있다. 이 탄젠트의 기울기는 이 동작점에서 전압에 따른 소신호 전류 변화에 해당한다.

이 탄젠트 기울기를 이 컨버터의 입력 저항 R_IN, 다시 말해 입력 임피던스 R_IN = Z_IN (f = 0)이라고 할 수 있다. f > 0의 주파수일 때 입력 임피던스에 관해서는 뒷부분에서 다시 설명한다. 여기서는 입력 임피던스가 주파수에 대해 일정하다고 가정해보자. 그러면
Z_IN (f) = Z_IN (f = 0)이다. 그런데 이 기울기가 음이므로 이 소신호 입력 저항은 음성이다. 만약 입력 전압이 증가하면 전류가 감소하고, 반대로 입력 전압이 감소하면 전류는 증가한다.

그림 2. 12V 지점에서 탄젠트가 추가됐다.

우선 그림 3의 회로를 보면 SMPS가 입력 커패시턴스 및 입력 인덕턴스와 함께 음성 저항에 의해 댐핑된 높은 Q의 LC 회로를 형성한다. 이 회로에서 이 음성 저항이 우세하면, 이것이 발진기가 되어서 공진 주파수 가까이에서 댐핑되지 않고 발진을 일으킨다. 그리고 대신호 발진에 있어서 비선형성이 발진 주파수와 이의 파형에 영향을 미친다.

이 회로에서 인덕터는 입력 필터의 인덕턴스이거나 케이블의 인덕턴스이다. 이 회로를 안정적으로 만들기 위해서는 양성 저항이 음성 저항에 대해 우세하게 만들어서 회로가 댐핑되도록 해야 한다. 하지만 이렇게 하면 인덕터의 직렬 저항이 높아진다는 문제가 생긴다. 이것은 열 발생을 증가시키고 효율을 떨어트릴 것이다. 커패시터의 직렬 저항을 높이는 방법도 있지만 전압 리플이 증가한다는 문제가 있다.

그림 3. SMPS와 해당 입력 네트워크의 소신호 모델

문제점 분석

전원장치 시스템을 설계할 때, 다음과 같은 질문들이 생겨날 수 있다.
- 자신이 설계하는 디자인에 이 같은 문제가 발생하지 않을까?
- 이 문제를 어떻게 분석할 것인가?
- 이 문제를 어떻게 해결할 것인가?

입력 회로에서 하나의 능동 소자만이 음성 저항으로 작용한다면 SMPS의 입력을 직접 살펴보는 것만으로 임피던스를 분석할 수 있다.

SMPS의 제어 루프 자체가 안정적이라고 가정했을 때 임피던스의 실수부(real part)가 주파수에 걸쳐서 0보다 크다면, 이 회로는 안정적이다. 이 분석은 해석적으로 하거나 시뮬레이션을 통해서 할 수 있다. 시뮬레이션은 입력 회로가 여러 소자들로 이루어졌다고 하더라도 손쉽게 할 수 있는 데 반해, 해석적 설계는 좀더 어렵다. 먼저 LTspice를 활용한 시뮬레이션부터 살펴보자.
우선, 다음과 같은 공식을 통해 음성 저항의 일차 근사값을 계산한다.

여기서 컨버터 입력 전력이 30W라고 가정하면 12V에서 저항은 -122/30 = -4.8Ω이다. 입력 필터는 LC 필터로 구성된다. 입력으로 저항이 낮은(low ohmic) 전원을 사용한다고 가정하고, 이상적인 0Ω 전원이라고 했을 때 등가 회로를 그림 4와 같이 단순화할 수 있다.

그림 4. SMPS와 해당 입력 네트워크의 예시

이 시뮬레이션에 전류 소스를 추가하면 입력에서의 소신호 임피던스를 V(IN)/I(I1)으로 계산할 수 있다. 이를 LTspice로 쉽게 시뮬레이션할 수 있다.

이 임피던스 그래프를 통해, 약 23kHz에서 공진 피크가 발생한다는 것을 알 수 있다. 이 임피던스의 위상은 LC 회로 공진 주파수 부근에서 90 ~ 270° 범위에 있다. 이는 임피던스의 실수부가 음이라는 뜻이다. 이 임피던스를 데카르트 좌표(Cartesian coordinate)로 표시하여 실수부를 곧바로 확인할 수도 있다.

이를 통해 높은 Q로 인해서 공진 시에 실수부가 꽤 높아진다(-3Ω)는 것을 알 수 있다. 그림 8은 1ms 시점에 외란 트랜션트를 주입했을 때의 시간 도메인 시뮬레이션으로서, 불안정한 동작을 일으킨다는 것을 알 수 있다.

그림 8. 1ms 시점에 트랜션트를 주입했을 때 시뮬레이션 결과

앞서도 언급했듯이, 설계 엔지니어는 자신이 설계하는 디자인의 리액티브 성분에 직렬 저항이 추가되는 것을 원치 않을 것이다. 디자인에 부정적인 영향을 미치지 않으면서 (크기에 미치는 영향은 제외) 취할 수 있는 한 가지 방법은, 커패시턴스 크기가 직렬 저항과 같거나 그보다 큰 댐핑 커패시터를 추가하는 것이다. 이렇게 함으로써 관심 주파수에서 임피던스에 있어서 우세한 비중을 차지하도록 할 수 있다.

적절한 댐핑 결과를 달성하기 위해서는 이 커패시터 크기가 기존 입력 커패시턴스보다 약간 더 커야 한다. 직렬 저항은 SMPS의 음성 저항보다는 훨씬 낮되, 관심 주파수에 추가되는 커패시턴스의 리액턴스와 같거나 그보다 커야 한다. 만약 세라믹 벌크 커패시터가 아닌 다른 커패시터를 추가한다면, 기생 ESR이 그 자체로서 충분히 좋을 것이다. 다만, 부품 차이를 위한 여유가 있다고 가정했을 때에 한 해 그렇다.

댐핑 커패시터와 직렬 저항 선택 방법

LTspice로 시행착오를 거치는 방법이 있고, 또는 회로가 단순할 때는 다음과 같은 분석 방법으로 값들을 구할 수도 있다.
만약 인덕터 맞은편 끝의 전원이 입력 필터와 비교했을 때 저항이 더 낮다고 한다면, 먼저 이 SMPS의 입력과 AC 접지 사이에
병렬로 배치할 수 있는 입력 커패시터 및 입력 인덕턴스의 공진 주파수를 계산한다.

이것이 공진 시 입력 필터의 등가 병렬 저항이다.

이 저항이 SMPS의 음성 저항의 절대값보다 낮으면, 양성 저항이 우세하고 입력 필터 네트워크가 안정적일 것이다. 만약 그렇지 않거나 마진이 적으면 댐핑을 추가해야 한다.

이를 위해서는 앞서 언급했듯이 추가적인 커패시터를 사용하고 최적의 댐핑을 달성하도록 직렬 저항을 적절히 선택한다. 그림 9는 R1과 C2를 추가한 것을 보여준다.

그림 9. 입력에 댐핑 네트워크 R1과 C2 추가

추가 커패시터의 값은 필터 커패시턴스와 같거나 그보다 커야 한다. 입력 필터의 공진 주파수에서 커패시터의 리액턴스는 SMPS의 음성 저항의 절대 값보다 훨씬 낮아야 하는데, 앞의 조건을 만족한다면 대체로 그렇다.

추가 커패시터의 크기는 절충적이다. 설계 방법 중 하나는 입력 필터의 임계 댐핑(critical damping)에 가깝게 하는 것이다. 이는 임계 댐핑을 이루는 병렬 저항을 계산하여 수행할 수 있는데, 병렬 저항이 리액턴스 값의 절반일 때(Q = 1/2) 가능하다. 다시 말해 병렬로 연결된 입력 필터의 저항과 SMPS의 음성 저항과 댐핑 저항 RDAMP(음성)은 공진 시 입력 필터 C 및 L의 리액턴스의 절반과 같아야 한다는 것을 뜻한다:

만약 L/C × 1/(RL + RC)와 |RIN| 값이 ??(L/C)보다 훨씬 크다면, 이 공식을 다음과 같이 단순화할 수 있다:

댐핑 저항과 관련하여, 적당한 크기의 댐핑 커패시터를 선택해야 한다. X_DAMP = 1/3 x R_DAMP를 사용할 것을 제안한다. 그러면 L/C × 1/(R_L + R_C)과 |RIN|이 √(L/C)보다 훨씬 커야 한다는 위의 조건을 만족하려면 C_DAMP = 6 x C이다.
이렇게 하면 입력이 임계 댐핑에 도달하지는 않으면서 그에 가까워질 것이다. 좀더 높은 링잉을 허용할 수 있고 설계 마진이 충분하다면 더 작은 C를 사용할 수도 있다. 이 예의 경우는 다음과 같다:

그림 10에서는 0.68Ω과 68μF을 사용하고 있다. 그림 11과 그림 12은 외란과 AC 임피던스의 시간 도메인 응답을 보여준다.

그림 10. 제안된 부품 값들을 사용한 댐핑 네트워크

음성 저항의 주파수 동작

전원장치 유닛(power supply unit, PSU)이 제어 루프의 루프 대역폭을 넘어서는 음성 저항으로서 동작하기를 멈출 것이라고 생각할 수 있지만, 대체로 이는 틀린 생각이다. PSU가 전류 모드일 경우, 양의 입력 전압 변화에 대한 즉각적인 응답은 레귤레이터가 요구하는 피크 전류 값을 유지하는 듀티 사이클 변경이 될 것이다. 이는 전압이 증가하면 입력 전류가 순간적으로 감소하고, 전압이 감소하면 입력 전류가 증가할 것이라는 뜻이다.

그 결과, 음성 저항은 스위칭 주파수에 도달할 때까지 계속 유지된다. 만약 PSU가 전압 제어 모드일 경우, 일반적으로 입력 전압에서 듀티 사이클로의 피드포워드 기능이 있어 컨버터가 입력 전압 변경에 즉시 반응하여 출력 전압을 일정하게 유지할 것이다.

이 역시 스위칭 주파수에 이르기까지 존재하는 음성 저항으로 인한 것이다. 그러므로 제어 루프 대역폭을 낮춘다고 해서 이 문제를 해결할 수 있는 것이 아니다. 또한, 하위 컨버터를 레귤레이트한다면 레귤레이트되지 않은 버스 컨버터가 여전히 음성 저항처럼 보일 수 있다.

맺음말

전원장치에서 부적절한 입력 네트워크 매칭으로 인해 발생하는 발진은 제어 루프의 불안정성으로 오인될 수 있다. 입력 네트워크와 음성 저항으로 인해 발진이 일어나는 것으로 확인된다면, LTspice로 이 동작을 손쉽게 분석하고 최적화할 수 있다. LTspice는 그래픽 스키매틱 캡쳐 인터페이스를 포함한 고성능 SPICE 시뮬레이터 소프트웨어이며 무료로 이용할 수 있다.

스키매틱을 시험해서 시뮬레이션 결과를 생성하고 LTspice의 파형 뷰어를 통해 쉽게 검사할 수 있다. LTspice의 향상된 기능과 모델링을 활용하면 다른 SPICE 솔루션들을 사용할 때보다 아날로그 회로 시뮬레이션을 향상시킬 수 있다.

저자 소개

토마스 지넬(Thomas Ginell)은 스웨덴 KTH 스톡홀름에서 전자공학 석사학위를 취득했다. 전공은 산업 전자공학 및 전원 시스템이며, 1992년에 졸업했다. 스웨덴 기업들에서 전자 설계와 관련한 다양한 직책을 거치며 경력을 쌓았고, 2005년에 리니어 테크놀로지(Linear Technology, 현 아나로그디바이스)에 입사했다.